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2023普通高等学校招生全国统一考试内参模拟测试卷(四)4数学试卷答案

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5.青霉素能破坏细菌的细胞壁并在细菌细胞的繁殖期起杀菌作用,早期科学家只能从青霉菌中提取少量青霉素,随着高产菌种的选育、发酵技术的发展等,青霉素步人产业化生产的道路。下列叙述正确的是A.可通过诱变育种的方法,选育出高产青霉素的菌株B.青霉素生产和泡菜的制作都需要隔绝氧气来发酵生产细胞的代谢产物C.因青霉素具有杀菌作用,青霉素的生产中使用的培养基和发酵设备不需严格灭菌D.青霉素破坏细菌的细胞壁,导致细菌细胞不能发生渗透作用吸水而死亡

分析（1）运用数量积的坐标计算公式，辅助角公式化简函数式，再求最小正周期和单调区间；
（2）根据自变量的范围得出函数的最值，求出a，再结合函数图象求k的范围．

解答解：（1）f（x）=2cos²x+sin2x+a
=cos2x+sin2x+a+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+a+1，
该函数的最小正周期为：π，
令2x+$\frac{π}{4}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，解得x∈[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]；
所以，f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z）；
（2）当x∈[0，$\frac{3π}{8}$]时，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，π]，
此时，sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[0，1]，
所以，f（x）_max=$\sqrt{2}$+a+1=$\sqrt{2}$，解得a=-1，
因此，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
要使f（x）=k在x∈[0，$\frac{3π}{8}$]内恰有两解，
结合正弦函数图象知，k∈[f（0），f（$\frac{π}{8}$）），即k∈[1，$\sqrt{2}$），
故实数k的取值范围为[1，$\sqrt{2}$）．

点评本题主要考查了向量的数量积，三角函数恒等变换，三角函数的图象与性质，以及运用函数图象解决根的个数问题，属于中档题．