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2023年普通高等学校招生全国统一考试·S3最新模拟卷3(三)数学试卷答案

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19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，且满足${a_{n+1}}={S_n}+{2^{n+1}}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列$\{\frac{S_n}{2^n}\}$为等差数列；
（Ⅱ）求S₁+S₂+…+S_n．

分析由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，可得球的半径R，即可求出四面体P-ABC外接球的表面积．

解答解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴2r=$\frac{6}{sin60°}$，
∴r=2$\sqrt{3}$，
∵PA⊥平面ABC，PA=4，
∴四面体P-ABC外接球的半径为$\sqrt{12+4}$=4
∴四面体P-ABC外接球的表面积为4π•4²=64π．
故答案为：64π．

点评本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R公式是解答的关键．