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2023考前信息卷·第七辑 重点中学、教育强区 考前猜题信息卷(二)数学试卷答案

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20．数列{a_n}满足a_n=4a_n-1+3且a₁=0，则此数列第4项是（　　）

分析令x=$\frac{1}{u}$，则dx=-$\frac{1}{u^2}$du，左边=${∫}_{x}^{1}$$\frac{dx}{1+{x}^{2}}$=${∫}_{\frac{1}{x}}^{1}$$\frac{1}{1+（\frac{1}{u}）^2}$•（-$\frac{1}{u^2}$）du=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{1}{u^2+1}$du=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{dx}{x^2+1}$=右边．

解答证明：令x=$\frac{1}{u}$，则dx=d$\frac{1}{u}$=-$\frac{1}{u^2}$du，所以，
左边=${∫}_{x}^{1}$$\frac{dx}{1+{x}^{2}}$=${∫}_{\frac{1}{x}}^{1}$$\frac{1}{1+（\frac{1}{u}）^2}$•（-$\frac{1}{u^2}$）du
=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{1}{1+（\frac{1}{u}）^2}$•$\frac{1}{u^2}$du
=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{1}{u^2+1}$du
=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{dx}{x^2+1}$
=右边．
因此，${∫}_{x}^{1}$$\frac{dx}{1+{x}^{2}}$=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{dx}{x^2+1}$．

点评本题主要考查了定积分的运算，以及运用换元法证明积分恒等式，属于中档题．