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衡水名师卷 2023年辽宁名校联盟·调研卷(五)5数学试卷答案

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4．若向量$\overrightarrow{a}$的一种正交分解是$\overrightarrow{a}$=λ₁$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ₂$\overrightarrow{{e}_{2}}$（λ₁，λ₂∈R），则正确的是（4）
（1）$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$（2）|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|（3）$\overrightarrow{{e}_{1}}$∥$\overrightarrow{{e}_{2}}$（4）$\overrightarrow{{e}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{e}_{2}}$．

分析根据0＜a＜$\frac{1}{2}$，取a的特殊值，代入计算，求出代数式的值，即可比较大小．

解答解：因为0＜a＜$\frac{1}{2}$，不妨令a=$\frac{1}{4}$，
所以1-a²=1-${（\frac{1}{4}）}^{2}$=$\frac{15}{16}$，
1+a²=1+${（\frac{1}{4}）}^{2}$=$\frac{17}{16}$，
$\frac{1}{1-a}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
$\frac{1}{1+a}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{5}$；
显然$\frac{4}{5}$＜$\frac{15}{16}$＜$\frac{17}{16}$＜$\frac{4}{3}$，
所以，按从小到大的顺序排列为
$\frac{1}{1+a}$＜1-a²＜1+a²＜$\frac{1}{1-a}$．
故答案为：$\frac{1}{1+a}$＜1-a²＜1+a²＜$\frac{1}{1-a}$．

点评本题考查了比较代数式大小的应用问题，解题时应根据题目的特征，利用特殊值法进行求值比较大小，是基础题目．