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河南省2023-2024学年八年级第二学期学情监测数学试卷答案

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15.(16分)如图所示为某同学设计的一种弹射游戏装置,让小物块压缩弹簧后释放,使小物块飞入水平桌面并与竖直挡板碰后返回不飞出桌面,并距离桌面左端最近者获胜.在光滑水平地面上一轻质弹簧左端固定,右端与一质量为m=1kg的小物块接触(物块与弹簧不栓接,滑上斜面前已脱离弹簧),物块正前方的水平地面上固定一倾角为45^、h=0.5m的光滑斜面(斜面底端与水平地面平滑连接),斜面右侧固定一上表面粗糙、高度为H=0.95m的水平桌面,小物块与桌面间的动摩擦因数为=0.3,在距桌面左端L=0.9m处固定一竖直弹性挡板,物块与挡板碰后无机械能损失.某位同学在一次游戏中,用小物块压缩弹簧(在弹性限度内)由静止释放,小物块离开斜面后恰好在运动到最高点时进入桌面后与挡板碰撞.不计空气阻力,小物块可视为质点,重力加速度g=10m/s^2.(1)求小物块运动到最高点时的速度大小v(2)求弹簧最初储存的弹性势能大小Ep;(3)通过计算判断该同学弹出的小物块与挡板碰后是否会从桌面左端飞出?若不能飞出桌面,求小物块静止时与桌面左端距离△x.

分析三条直线l₁：ax+y+1=0，l₂：x+ay+1=0，l₃：x+y+a=0能够围成一个三角形，则三条直线互不平行且不能相交于同一个点．

解答解：①当a=0时，三条直线分别化为l₁：y+1=0，l₂：x+1=0，l₃：x+y=0能够围成一个三角形，因此a=0适合条件；
②当a≠0时，三条直线分别化为l₁：y=-ax-1，l₂：y=-$\frac{1}{a}$x-$\frac{1}{a}$，l₃：y=-x-a，
若能够围成一个三角形，则-a≠-$\frac{1}{a}$，-a≠-1，-$\frac{1}{a}$≠-1，且去掉满足$\left\{\begin{array}{l}ax+y+1=0\\x+ay+1=0\\x+y+a=0\end{array}\right.$的a的值．
解得a≠1，-1，-2．
综上可得：实数a的取值范围是（-∞，-2）∪（-2，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）．
故答案为：a∈（-∞，-2）∪（-2，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）

点评本题考查了直线的相交与平行、组成三角形的条件，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．