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安徽省省城名校2024年中考最后三模（三）数学试卷答案

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14．以下五个说法：
①函数y=x²在R上是增函数．   
②函数$y=\frac{1}{x}$的单调递减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）．
③实数集可以表示为{R}．  
④方程$\sqrt{2x-1}+|{2y+1}|=0$的解集是$\{（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）\}$．
⑤集合M={y|y=x²+1，x∈R}与集合N={（x，y）|y=x²+1，x∈R}表示同一个集合．
其中正确的命题序号是④．

分析由题意知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+acosx在x=$\frac{π}{3}$处取得最值，从而可得（$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$a）²=3+a²，从而解出f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$），从而确定单调增区间．

解答解：∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=$\frac{π}{3}$，
∴函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+acosx在x=$\frac{π}{3}$处取得最值；
∴（$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$a）²=3+a²，
解得，a=1；
故f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$），
故2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
故2kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
故选：A．

点评本题考查了三角函数的性质的判断与应用，同时考查了三角恒等变换的应用．