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天一大联考 皖豫名校联盟体2023届高中毕业班第二次考试数学试卷答案

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18.在夏季高温环境中,体液的大量丢失会导致严重的血液循环障碍,为了维持脑和心脏最基础的氧气供应,机体会关闭皮肤血液循环,汗液分泌随之关闭,体温失去体温调节中的控制,机体核心温度迅速升高,超过40^C,进而导致器官系统损伤,这就是热射病。下列相关分析错误的是A.夏季高温时,及时补水是预防热射病的有效措施B.导致热射病患者体温升高的主要原因是散热不畅C.热射病患者的体液大量丢失,下丘脑分泌抗利尿激素量减少D.热射病患者体温过高,细胞内酶活性改变,细胞代谢乱

分析（1）由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直线L的直角坐标方程；由余弦加法定理和ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出圆C的直角坐标方程．
（2）圆C的圆心C（2，2），半径r=$\sqrt{2}$，求出圆心C到直线的距离，由此能求出圆C上的点到直线L的最短距离．

解答（本小题满分12分）
解：（1）∵直线L：3ρcosθ+4ρsinθ+6=0，
∴由ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得到直线L的直角坐标方程为：3x+4y+6=0，
∵圆C：ρ²-4$\sqrt{2}ρcos（θ-\frac{π}{4}）+6=0$，
∴${ρ}^{2}-4\sqrt{2}ρ（cosθcos\frac{π}{4}+sinθsin\frac{π}{4}）$+6=0，
∴ρ²-4ρcosθ-4sinθ+6=0，
∴由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得圆C的直角坐标方程为：x²+y²-4x-4y+6=0，即（x-2）²+（y-2）²=2．
（2）∵圆C：（x-2）²+（y-2）²=2的圆心C（2，2），半径r=$\sqrt{2}$，
圆心C（2，2）到直线3x+4y+6=0的距离d=$\frac{|6+8+6|}{\sqrt{9+16}}$=4，
∴圆C上的点到直线L的最短距离为4$-\sqrt{2}$．

点评本题考查直线和C的极坐标方程化为直角坐标方程的求法，考查圆上的点到直线的最短距离的求法，解题时要注意点到直线距离公式和ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y的合理运用．