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陕西省2023~2024学年度八年级教学素养测评(三) 3L R-SX数学试卷答案

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5.一质点做匀加速直线运动,依次通过A、B、C、D四个位置,如图所示,已知AB=2m,CD=9m,且该物块通过AB段、BC段和CD段的时间之比为:2:1,那么BC段的长度为A.6mB.11mC.12mD.16m

分析由已知数列递推式求出a₂，再把数列递推式变形后可得数列{a_n+1}从第二项起，构成以1为首项，以$\frac{3}{2}$为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得答案．

解答解：由S_n=2a_n+1+n，①得
S_n+1=2a_n+2+n+1，②
②-①得a_n+1=2a_n+2-2a_n+1+1，
即${a}_{n+2}=\frac{3}{2}{a}_{n+1}+\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n+2}+1=\frac{3}{2}（{a}_{n+1}+1）$，
∵a₁=1，∴${a}_{2}=\frac{1}{2}（{a}_{1}-1）=0$，
则a₂+1=1≠0．
∴数列{a_n+1}从第二项起，构成以1为首项，以$\frac{3}{2}$为公比的等比数列．
则当n≥2时，${a}_{n}+1=\frac{1-（\frac{3}{2}）^{n-2}}{1-\frac{3}{2}}$=$2-（\frac{3}{2}）^{n-2}$，
即${a}_{n}=1-（\frac{3}{2}）^{n-2}$（n≥2）．
验证n=1上式不成立．
∴${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{1（n=1）}\\{1-{{（\frac{3}{2}）}^{n-2}}（n≥2）}\end{array}}\right.$．

点评本题考查数列的递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．