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2023年普通高等学校招生全国统一考试 23·高考样卷-(二)-Y数学试卷答案

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1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2（a_n-n），n∈N^+*．
（1）证明：{a_n+2}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），T_n为数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和，求T_n．

分析构造函数F（x）=f（x）-g（x），根据题意得F（a）=f（a）-g（a）＜0，F（b）=f（b）-g（b）＞0，得出F（a）•F（b）＜0，命题得证．

解答证明：构造函数F（x）=f（x）-g（x），
因为f（x），g（x）的图象在[a，b]上是连续不断的，
所以F（x）在在[a，b]上也是连续不断的，
由于f（a）＜g（a），f（b）＞g（b），
所以，F（a）=f（a）-g（a）＜0，F（b）=f（b）-g（b）＞0，
所以，F（a）•F（b）＜0，
因此，在区间（a，b）内必存在一点x₀使得F（x₀）=0，
即f（x₀）=g（x₀），即证．

点评本题主要考查了函数零点的判断和证明，涉及函数零点的存在性定理，以及运用构造法，综合法证明问题，属于中档题．