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广西国品文化 2023年高考桂柳信息冲刺金卷(五)5数学试卷答案

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4．已知$\overrightarrow m=（a，b）$，$\overrightarrow{n}$=（2sinx，2cosx），其中a，b，x∈R．若f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，满足f（$\frac{π}{3}$）=2，且f（x）的导函数f′（x）的图象关于直线x=$\frac{5π}{6}$对称．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间[0，$\frac{π}{2}$]上总有实数解，求实数k的取值范围．

分析求出函数的导数，求出极值点，利用极值点大于0，求出a的范围．

解答解：函数f（x）=e^ax+2x（x∈R），
可得f′（x）=ae^ax+2，令f′（x）=ae^ax+2=0，解得x=$\frac{1}{a}ln（-\frac{2}{a}）$
函数f（x）=e^ax+2x（x∈R）有大于零的极值点，
∴$\frac{1}{a}ln（-\frac{2}{a}）＞0$，解得a＜-2．
故选：B．

点评本题考查函数的导数的应用，函数的极值点的求法，考查不等式的解法，是中档题．