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2023年陕西省普通高中学业水平考试全真模拟(三)数学试卷答案

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18．已知函数f（x）=lg（10^x+a）是定义域为R上的奇函数，h（x）=tf（x）．
（1）求实数a的值；
（2）若h（x）≤xlog₃x在x∈[3，8]上恒成立，求t的取值范围．

分析（1）首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得，f′（-2）=0，f（-2）=28．，解之即可求出a和b的值．
（2）利用函数的极值点以及函数的单调性，判断1就函数的极值即可．

解答解：（1）对函数函数f（x）=x³+ax²+bx求导得f′（x）=3x²+2ax+b，
又∵在x=-2处取极值28，
∴f′（-2）=12-4a+b=0，f（-2）=-8+4a-2b=28，
解得，a=-3，b=-24，
（2）当a=-3，b=-24时，3x²-6x-24=0，解得x=-2或x=4．
x∈（-∞，-2），（4，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数，x∈（-2，4），f′（x）＜0，函数是减函数，
函数f（x）=x³-6x²-24x在x=-2取得极大值：16，x=4时取得极小值：-128．

点评掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，属于中档题．