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金考卷2023年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 押题卷(五)数学试卷答案

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6．已知函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+x}{x-1}$．
（I）若a＞b＞1，试比较f（a）与f（b）的大小；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x+m，且g（x）在区间[3，4]上没有零点，求实数m的取值范围．

分析（1）根据一元二次不等式的性质进行求解即可．
（2）根据一元二次不等式的性质进行求解即可．

解答解：（1）?x∈R，使f（x）≤0恒成立，
则等价为ax²-ax-2≤0恒成立，
若a=0，则不等式等价为-2≤0成立，
若a≠0，则$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△={a}^{2}+8a≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-8＜a＜0}\end{array}\right.$，
解得-8＜a＜0，综上-8＜a≤0，
即实数a的取值范围是（-8，0]；
（2）?x∈R，使f（x）≤0成立，
则①若a=0，则不等式等价为-2≤0成立，
②若a＜0，则抛物线开口向下，不等式f（x）≤0成立，
③若a＞0，则抛物线开口向上，则满足判别式△=a²+8a≥0，
即a≥0或a≤-8，
此时解得a＞0，
综上a∈R，
即实数a的取值范围是（-∞，+∞）．

点评本题主要考查一元二次不等式的求解，根据一元二次函数的性质，结合判别式△是解决本题的关键．