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2023年普通高等学校招生全国统一考试冲刺预测·金卷(二)数学试卷答案

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8．已知A、B、C是直线l上的不同的三点，点O是直线l外一点，向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$满足$\overrightarrow{OA}$-[2sin（2x-$\frac{π}{6}$）]$\overrightarrow{OB}$-（$\frac{3}{2}$-y）$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式及它的周期；
（2）若对任意x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，不等式f（x）-2^m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

分析利用向量加法、减法的三角形法则把$\overrightarrow{AC}、\overrightarrow{BD}$用向量$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AD}$表示，平方后作差得答案．

解答解：∵${\overrightarrow{BD}}^{2}=（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）^{2}={\overrightarrow{AD}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}$$-2\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$，
${\overrightarrow{AC}}^{2}=（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}）^{2}$=${\overrightarrow{AD}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}+2\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$．
∴${\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{BD}}^{2}=4\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$，
则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{{\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{BD}}^{2}}{4}=\frac{9}{4}$．
故选：C．

点评本题考查平面向量的数量积运算，训练了向量加法、减法的三角形法则，是中档题．