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中考必刷卷·2023年安徽中考第一轮复习卷（六）数学试卷答案

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17．在平面直角坐标系中，第一象限内的动点P（x，y）满足：
①与点A（1，1）、点B（-1，-1）连线斜率互为相反数；
②x+y＜$\frac{5}{2}$．
（1）求动点P的轨迹C₁的方程；
（2）若存在直线m与C₁和椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）均相切于同一点，求椭圆C₂离心率e的取值范围．

分析①根据定义可求出f（2）=0，再逐步递推f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2）=0；
②分区间分别讨论，得出在定义域内函数的值域；
③根据②的结论x∈（2^m，2^m+1），f（x）=2^m+1-x，求出f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1=2ⁿ-1，再判断是否存在n值；
④由②的结论x∈（2^m，2^m+1），f（x）=2^m+1-x显然可得结论．

解答解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2-x．
∴f（2）=0．f（1）=$\frac{1}{2}$f（2）=0．
∵f（2x）=2f（x），
∴f（2^kx）=2^kf（x）．
①f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2）=0，故正确；
②设x∈（2，4]时，则$\frac{1}{2}$x∈（1，2]，∴f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=4-x≥0．
若x∈（4，8]时，则$\frac{1}{2}$x∈（2，4]，∴f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=8-x≥0．
…
一般地当x∈（2^m，2^m+1），
则$\frac{x}{{2}^{m}}$∈（1，2]，f（x）=2^m+1-x≥0，
从而f（x）∈[0，+∞），故正确；
③由②知当x∈（2^m，2^m+1），f（x）=2^m+1-x≥0，
∴f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1=2ⁿ-1，假设存在n使f（2ⁿ+1）=9，
即2ⁿ-1=9，∴2ⁿ=10，
∵n∈Z，
∴2ⁿ=10不成立，故错误；
④由②知当x∈（2^k，2^k+1）时，f（x）=2^k+1-x单调递减，为减函数，
∴若（a，b）⊆（2^k，2^k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．
故答案为：①②④．

点评考查了分段函数和抽象函数的理解，要弄清题意．