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铜仁市2023年高三适应性考试（二）数学试卷答案

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17．（1）已知关于x的二次函数f（x）=ax²-4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，求方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1表示焦点在x轴上且离心率小于$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆的概率．

分析根据a+b=1和“1”的代换，利用不等式化简$\frac{{a}^{2}+1}{ab}$，代入$（\frac{{a}^{2}+1}{ab}-2）•c+\frac{\sqrt{2}}{c-1}$化简后，利用添补项和基本不等式求出式子的最小值，并求出等号成立时a、b、c的值．

解答解：因为a＞0，b＞0，a+b=1，
所以$\frac{{a}^{2}+1}{ab}$=$\frac{{a}^{2}+（a+b）^{2}}{ab}$=$\frac{{2a}^{2}+{b}^{2}+2ab}{ab}$
≥$\frac{2\sqrt{2}ab+2ab}{ab}$=$2\sqrt{2}+2$，
又c＞1，则$（\frac{{a}^{2}+1}{ab}-2）•c+\frac{\sqrt{2}}{c-1}$≥$2\sqrt{2}c+\frac{\sqrt{2}}{c-1}$
=$\sqrt{2}$[2（c-1）+$\frac{1}{c-1}$+2]≥$\sqrt{2}[2\sqrt{2（c-1）•\frac{1}{c-1}}+2]$
=4+2$\sqrt{2}$，
其中等号成立的条件：当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}={b}^{2}}\\{a+b=1}\\{2（c-1）=\frac{1}{c-1}}\end{array}\right.$，
解得a=$\sqrt{2}-1$、b=2$-\sqrt{2}$、c=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以$（\frac{{a}^{2}+1}{ab}-2）•c+\frac{\sqrt{2}}{c-1}$的最小值是$4+2\sqrt{2}$，
故答案为：$4+2\sqrt{2}$．

点评本题考查利用基本不等式求最值问题，“1”的代换灵活应用，考查灵活变形、化简能力，属于中档题．