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2023届三重教育2月高三大联考(新高考卷)数学试卷答案

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1．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：
（1）AC⊥BD           （2）AB与平面BCD成60°的角
（3）△ACD是等边三角形 （4）AB与CD所成的角为60°
正确结论的编号是①③④．

分析由已知可得：2θ-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，结合二倍角公式和和差角公式，可已知化为sin（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，进而利用同角三角函数的基本关系公式，求出cos（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，代入cos2θ=cos[（2θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]可得答案．

解答解：∵θ∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2θ-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
又∵$\sqrt{3}$sinθcosθ-$\frac{1}{2}$cos2θ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2θ-$\frac{1}{2}$cos2θ=sin（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cos2θ=cos[（2θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（2θ-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（2θ-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$，
故选：A

点评本题考查的知识点是二倍角公式和和差角公式，同角三角函数的基本关系公式，难度中档．