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考前信息卷·第四辑砺剑·2023相约高考高考模拟突破卷(四)4数学试卷答案

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3．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=3+tsinα}\end{array}\right.$，t为参数，0≤α＜π；射线θ=φ，θ=φ+$\frac{π}{4}$，θ=φ-$\frac{π}{4}$，θ=φ+$\frac{π}{2}$与曲线C₁分别交异于极点O的四点A，B，C，D．
（1）若曲线C₁关于曲线C₂对称，求α的值，并把曲线C₁和C₂化成直角坐标方程；
（2）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．

分析分类讨论，化简A，B，再求A∪B及A∩B．

解答解：a=0，B=∅，A=[0，1]，∴A∪B=[0，1]，A∩B=∅．
a=1，A={1}，B={$\frac{1}{2}$}，∴A∪B={1，$\frac{1}{2}$}，A∩B=∅．
a＜0或0＜a≤$\frac{1}{2}$，A=（a，1），B={$\frac{1}{2a}$}，A∪B=（a，1）∪{$\frac{1}{2a}$}，A∩B=∅．
$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A=（a，1），B={$\frac{1}{2a}$}，A∪B=（a，1），A∩B={$\frac{1}{2a}$}．
$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜1，A=（a，1），B={$\frac{1}{2a}$}，A∪B=（a，1）∪{$\frac{1}{2a}$}，A∩B=∅．
a＞1，A=（1，a），B={$\frac{1}{2a}$}，A∪B=（1，a）∪{$\frac{1}{2a}$}，A∩B=∅．

点评本题考查集合的化简，考查集合的运算，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论是关键．