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福建省三明市2022-2023学年第一学期普通高中高三期末质量检测数学试卷答案

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9．已知a∈R，函数f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}（a+1）{x}^{2}+ax$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若a＞1，函数y=f（x）在[0，a+1]上最大值是f（a+1），求实数a的取值范围．

分析利用抛物线的定义求出抛物线的方程，利用双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，建立方程，即可求出a的值．

解答解：∵抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，
∴1+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=8，
∴y²=16x，∴m=±4．
取M（1，4），双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{25}$=1（a＞0）的左顶点为A（a，0），直线AM的斜率为$\frac{4}{1-a}$
∵该双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，
∴$\frac{5}{a}$×$\frac{4}{1-a}$=-1
∵a＞0，∴a=5．
故答案为：5．

点评本题考查抛物线的定义域方程，考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．